趣味2048中的秘密辅导

一直很火的2048，想必很多同学都玩过了，你想过高分数是多少呢？你见过同学间高分是多少呢？游戏背后存在着哪些数学公式和算法呢？其实，只要你懂得里面的算法就可以让你玩的爽，玩的明明白白。

容易看出，每走一步之后，棋盘上的所有数之和都会增加 2 或者 4 。如果终棋盘上出现了一个 218 ，就说明棋盘上的所有数之和至少是 218 ，那么在此之前棋盘上的所有数之和一定经历过 218 – 2 或者 218 – 4 。前者的二进制表达为 11 1111 1111 1111 1110 ，这里面有 17 个数字 1 ，超过了棋盘里总的格子数，因而显然是不可能的。
    后者的二进制表达是 11 1111 1111 1111 1100 ，这里面有 16 个数字 1 ，正好是棋盘里总的格子数。这说明，此时棋盘刚好被填满， 22, 23, 24, …, 217 这 16 种不同的数块各有一个。这意味着棋盘里不但没有空白的格子，也没有相同种类的数块可以合并，此时玩家直接就死掉了！因而，我们是没有办法得到 218的。
    因此， 217 = 131072 成为了 2048 这个游戏中数块大小的一个理论上限。但是，我们真的能弄出 131072 吗？看上去，我们好像只需要构造出下图所示的局面就行了，但这个局面本身能否实现，还有待进一步讨论。 理论上 131072 也是无法得到的，但他不能证明这一点。
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